Решете 0=4x^2-9x+14

$$0 = 4 x ^ { 2 } - 9 x + 14$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8}\approx 1,125+1,494782593i$$

$$x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}\approx 1,125-1,494782593i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$4x^{2}-9x+14=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -9 вместо b и 14 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 14}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-224}}{2\times 4}$$

Съберете 81 с -224.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-143}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от -143.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{143}i}{2\times 4}$$

Противоположното на -9 е 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{143}i}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}, когато ± е плюс. Съберете 9 с i\sqrt{143}.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{143} от 9.

$$x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8} x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$4x^{2}-9x+14=0$$

Извадете 14 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$4x^{2}-9x=-14$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-14}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Разделете -\frac{9}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{64}$$

Съберете -\frac{7}{2} и \frac{81}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{143}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{143}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{143}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{143}i}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{143}i}{8}$$

Съберете \frac{9}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8} x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$