Решете -x^2-241x+8130=0

$$- x ^ { 2 } - 241 x + 8130 = 0$$

Решаване за x

$$x=-271$$

$$x=30$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+8130. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-241 ab=-8130=-8130$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -8130 на продукта.

$$1,-8130 2,-4065 3,-2710 5,-1626 6,-1355 10,-813 15,-542 30,-271$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-8130=-8129 2-4065=-4063 3-2710=-2707 5-1626=-1621 6-1355=-1349 10-813=-803 15-542=-527 30-271=-241$$

Решението е двойката, която дава сума -241.

$$a=30 b=-271$$

Напишете -x^{2}-241x+8130 като \left(-x^{2}+30x\right)+\left(-271x+8130\right).

$$\left(-x^{2}+30x\right)+\left(-271x+8130\right)$$

Фактор, x в първата и 271 във втората група.

$$x\left(-x+30\right)+271\left(-x+30\right)$$

Разложете на множители общия член -x+30, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+30\right)\left(x+271\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+30=0 и x+271=0.

$$x=30 x=-271$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-241x+8130=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -241 вместо b и 8130 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±\sqrt{\left(-241\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8130}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -241.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±\sqrt{58081-4\left(-1\right)\times 8130}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±\sqrt{58081+4\times 8130}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 8130.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±\sqrt{58081+32520}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 58081 с 32520.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±\sqrt{90601}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 90601.

$$x=\frac{-\left(-241\right)±301}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -241 е 241.

$$x=\frac{241±301}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{241±301}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{241±301}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 241 с 301.

$$x=\frac{542}{-2}$$

Разделете 542 на -2.

$$x=-271$$

Сега решете уравнението x=\frac{241±301}{-2}, когато ± е минус. Извадете 301 от 241.

$$x=-\frac{60}{-2}$$

Разделете -60 на -2.

$$x=30$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-271 x=30$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-241x+8130=0$$

Извадете 8130 и от двете страни на уравнението.

$$-x^{2}-241x+8130-8130=-8130$$

Изваждане на 8130 от самото него дава 0.

$$-x^{2}-241x=-8130$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-241x}{-1}=-\frac{8130}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{241}{-1}\right)x=-\frac{8130}{-1}$$

Разделете -241 на -1.

$$x^{2}+241x=-\frac{8130}{-1}$$

Разделете -8130 на -1.

$$x^{2}+241x=8130$$

Разделете 241 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{241}{2}. След това съберете квадрата на \frac{241}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+241x+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=8130+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{241}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+241x+\frac{58081}{4}=8130+\frac{58081}{4}$$

Съберете 8130 с \frac{58081}{4}.

$$x^{2}+241x+\frac{58081}{4}=\frac{90601}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+241x+\frac{58081}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{90601}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{90601}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{241}{2}=\frac{301}{2} x+\frac{241}{2}=-\frac{301}{2}$$

Извадете \frac{241}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=30 x=-271$$