Решете -8x^2=-14x-15

$$- 8 x ^ { 2 } = - 14 x - 15$$

Решаване за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Добавете 14x от двете страни.

$$-8x^{2}+14x=-15$$

Добавете 15 от двете страни.

$$-8x^{2}+14x+15=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -8x^{2}+ax+bx+15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=14 ab=-8\times 15=-120$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -120 на продукта.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решението е двойката, която дава сума 14.

$$a=20 b=-6$$

Напишете -8x^{2}+14x+15 като \left(-8x^{2}+20x\right)+\left(-6x+15\right).

$$\left(-8x^{2}+20x\right)+\left(-6x+15\right)$$

Фактор, -4x в първата и -3 във втората група.

$$-4x\left(2x-5\right)-3\left(2x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-5\right)\left(-4x-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-5=0 и -4x-3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Добавете 14x от двете страни.

$$-8x^{2}+14x=-15$$

Добавете 15 от двете страни.

$$-8x^{2}+14x+15=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -8 вместо a, 14 вместо b и 15 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-8\right)\times 15}}{2\left(-8\right)}$$

Повдигане на квадрат на 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-8\right)\times 15}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете -4 по -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+32\times 15}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 32 по 15.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+480}}{2\left(-8\right)}$$

Съберете 196 с 480.

$$x=\frac{-14±\sqrt{676}}{2\left(-8\right)}$$

Получете корен квадратен от 676.

$$x=\frac{-14±26}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 2 по -8.

$$x=\frac{-14±26}{-16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±26}{-16}, когато ± е плюс. Съберете -14 с 26.

$$x=\frac{12}{-16}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{-16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±26}{-16}, когато ± е минус. Извадете 26 от -14.

$$x=-\frac{40}{-16}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{-16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Добавете 14x от двете страни.

$$-8x^{2}+14x=-15$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x^{2}+14x}{-8}=-\frac{15}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x^{2}+\frac{14}{-8}x=-\frac{15}{-8}$$

Намаляване на дробта \frac{14}{-8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{15}{-8}$$

Разделете -15 на -8.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{8}$$

Разделете -\frac{7}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{8}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{8}+\frac{49}{64}$$

Съберете \frac{15}{8} и \frac{49}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{169}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{13}{8}$$

Съберете \frac{7}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$