Решете -3x-3y=3text{and}y=-5x-17

$$- 3 x - 3 y = 3 \text { and } y = - 5 x - 17$$

Решаване за x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$y+5x=-17$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$-3x-3y=3$$

Съберете 3y към двете страни на уравнението.

$$-3x=3y+3$$

Разделете двете страни на -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(3y+3\right)$$

Умножете -\frac{1}{3} по 3+3y.

$$x=-y-1$$

Заместете -y-1 вместо x в другото уравнение, 5x+y=-17.

$$5\left(-y-1\right)+y=-17$$

Умножете 5 по -y-1.

$$-5y-5+y=-17$$

Съберете -5y с y.

$$-4y-5=-17$$

Съберете 5 към двете страни на уравнението.

$$-4y=-12$$

Разделете двете страни на -4.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в x=-y-1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-3-1$$

Съберете -1 с -3.

$$x=-4$$

Системата сега е решена.

$$x=-4,y=3$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$y+5x=-17$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{3}{-3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 3+\frac{1}{4}\left(-17\right)\\-\frac{5}{12}\times 3-\frac{1}{4}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-4,y=3$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$y+5x=-17$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

За да направите -3x и 5x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 5, а всички членове от двете страни на второто по -3.

$$5\left(-3\right)x+5\left(-3\right)y=5\times 3,-3\times 5x-3y=-3\left(-17\right)$$

Опростявайте.

$$-15x-15y=15,-15x-3y=51$$

Извадете -15x-3y=51 от -15x-15y=15, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-15x+15x-15y+3y=15-51$$

Съберете -15x с 15x. Условията -15x и 15x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-15y+3y=15-51$$

Съберете -15y с 3y.

$$-12y=15-51$$

Съберете 15 с -51.

$$-12y=-36$$

Разделете двете страни на -12.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в 5x+y=-17. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$5x+3=-17$$

Извадете 3 и от двете страни на уравнението.

$$5x=-20$$

Разделете двете страни на 5.

$$x=-4$$

Системата сега е решена.

$$x=-4,y=3$$