Решете -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете неравенството по -1, за да направите коефициента на най-високата степен в -2x^{2}+12x-14 положителен. Тъй като -1 е отрицателна, посоката на неравенство е променена.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, -12 за b и 14 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\left(\sqrt{2}+3\right) и x-\left(3-\sqrt{2}\right) трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\left(\sqrt{2}+3\right) е положително, а x-\left(3-\sqrt{2}\right) е отрицателно.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\left(3-\sqrt{2}\right) е положително, а x-\left(\sqrt{2}+3\right) е отрицателно.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$