Решете -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Разлагане на множители

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Сметнете -4t^{2}+24t-27. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като -4t^{2}+at+bt-27. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 108 на продукта.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Решението е двойката, която дава сума 24.

$$a=18 b=6$$

Напишете -4t^{2}+24t-27 като \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Фактор, -2t в първата и 3 във втората група.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Разложете на множители общия член 2t-9, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Повдигане на квадрат на 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете -4 по -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 64 по -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Съберете 9216 с -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Получете корен квадратен от 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 2 по -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-96±48}{-32}, когато ± е плюс. Съберете -96 с 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Намаляване на дробта \frac{-48}{-32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-96±48}{-32}, когато ± е минус. Извадете 48 от -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Намаляване на дробта \frac{-144}{-32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{2} и x_{2} с \frac{9}{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от t, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Извадете \frac{9}{2} от t, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Умножете \frac{-2t+3}{-2} по \frac{-2t+9}{-2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Умножете -2 по -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в -16 и 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Изчисляване

$$-16t^{2}+96t-108$$