Решете -n^2/12+11n/12=-5

$$- \frac { n ^ { 2 } } { 12 } + \frac { 11 n } { 12 } = - 5$$

Решаване за n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението по 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Добавете 60 от двете страни.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -n^{2}+an+bn+60. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=-60=-60$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -60 на продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=15 b=-4$$

Напишете -n^{2}+11n+60 като \left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right)$$

Фактор, -n в първата и -4 във втората група.

$$-n\left(n-15\right)-4\left(n-15\right)$$

Разложете на множители общия член n-15, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(n-15\right)\left(-n-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете n-15=0 и -n-4=0.

$$n=15 n=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Добавете 60 от двете страни.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 11 вместо b и 60 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 60.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 121 с 240.

$$n=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 361.

$$n=\frac{-11±19}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$n=\frac{-11±19}{-2}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-11±19}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 19.

$$n=\frac{8}{-2}$$

Разделете 8 на -2.

$$n=-4$$

Сега решете уравнението n=\frac{-11±19}{-2}, когато ± е минус. Извадете 19 от -11.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Разделете -30 на -2.

$$n=15$$

Уравнението сега е решено.

$$n=-4 n=15$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-n^{2}+11n}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$n^{2}+\frac{11}{-1}n=-\frac{60}{-1}$$

Разделете 11 на -1.

$$n^{2}-11n=-\frac{60}{-1}$$

Разделете -60 на -1.

$$n^{2}-11n=60$$

Разделете -11 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Съберете 60 с \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Разложете на множител n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Съберете \frac{11}{2} към двете страни на уравнението.

$$n=15 n=-4$$