Решете (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Решаване за x

$$x=4$$

$$x=10$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 76-4x по 10+2x и да групирате подобните членове.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Извадете 1080 и от двете страни.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Извадете 1080 от 760, за да получите -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -8 вместо a, 112 вместо b и -320 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Повдигане на квадрат на 112.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете -4 по -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 32 по -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Съберете 12544 с -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Получете корен квадратен от 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 2 по -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-112±48}{-16}, когато ± е плюс. Съберете -112 с 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Разделете -64 на -16.

$$x=4$$

Сега решете уравнението x=\frac{-112±48}{-16}, когато ± е минус. Извадете 48 от -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

Разделете -160 на -16.

$$x=10$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4 x=10$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 76-4x по 10+2x и да групирате подобните членове.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Извадете 760 и от двете страни.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Извадете 760 от 1080, за да получите 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

Разделете 112 на -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

Разделете 320 на -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Разделете -14 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -7. След това съберете квадрата на -7 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Съберете -40 с 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Разложете на множител x^{2}-14x+49. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Опростявайте.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Съберете 7 към двете страни на уравнението.

$$x=10 x=4$$