Решете (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 20-x по 100+20x и да групирате подобните членове.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Извадете 2240 и от двете страни.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Извадете 2240 от 2000, за да получите -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -20 вместо a, 300 вместо b и -240 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Повдигане на квадрат на 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Умножете -4 по -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Умножете 80 по -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Съберете 90000 с -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Получете корен квадратен от 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Умножете 2 по -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, когато ± е плюс. Съберете -300 с 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Разделете -300+20\sqrt{177} на -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, когато ± е минус. Извадете 20\sqrt{177} от -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Разделете -300-20\sqrt{177} на -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 20-x по 100+20x и да групирате подобните членове.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Извадете 2000 и от двете страни.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Извадете 2000 от 2240, за да получите 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Разделете двете страни на -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Делението на -20 отменя умножението по -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Разделете 300 на -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Разделете 240 на -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Разделете -15 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{15}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{15}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{15}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Съберете -12 с \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Съберете \frac{15}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$