Решете (16-2x)(9-x)=112

$$(16-2x)(9-x)=112$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=16$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16-2x по 9-x и да групирате подобните членове.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Извадете 112 и от двете страни.

$$144-34x+2x^{2}-112=0$$

Извадете 112 от 144, за да получите 32.

$$32-34x+2x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}-34x+32=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -34 вместо b и 32 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -34.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 32}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 32.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-256}}{2\times 2}$$

Съберете 1156 с -256.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{900}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 900.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±30}{2\times 2}$$

Противоположното на -34 е 34.

$$x=\frac{34±30}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{34±30}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{34±30}{4}, когато ± е плюс. Съберете 34 с 30.

$$x=\frac{64}{4}$$

Разделете 64 на 4.

$$x=16$$

Сега решете уравнението x=\frac{34±30}{4}, когато ± е минус. Извадете 30 от 34.

$$x=\frac{4}{4}$$

Разделете 4 на 4.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=16 x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16-2x по 9-x и да групирате подобните членове.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Извадете 144 и от двете страни.

$$-34x+2x^{2}=112-144$$

Извадете 144 от 112, за да получите -32.

$$-34x+2x^{2}=-32$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-32$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{32}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{32}{2}$$

Разделете -34 на 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{32}{2}$$

Разделете -32 на 2.

$$x^{2}-17x=-16$$

Разделете -17 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{17}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{17}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{17}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-16+\frac{289}{4}$$

Съберете -16 с \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{225}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{15}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{15}{2}$$

Съберете \frac{17}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=16 x=1$$