Решете (1000-5x)(x-100)=32000

$$(1000-5x)(x-100)=32000$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=150+10\sqrt{39}i\approx 150+62,449979984i$$

$$x=-10\sqrt{39}i+150\approx 150-62,449979984i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1000-5x по x-100 и да групирате подобните членове.

$$1500x-100000-5x^{2}=32000$$

Извадете 32000 и от двете страни.

$$1500x-100000-5x^{2}-32000=0$$

Извадете 32000 от -100000, за да получите -132000.

$$1500x-132000-5x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-5x^{2}+1500x-132000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -5 вместо a, 1500 вместо b и -132000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{1500^{2}-4\left(-5\right)\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Повдигане на квадрат на 1500.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-4\left(-5\right)\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете -4 по -5.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000+20\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 20 по -132000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-2640000}}{2\left(-5\right)}$$

Съберете 2250000 с -2640000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{-390000}}{2\left(-5\right)}$$

Получете корен квадратен от -390000.

$$x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 2 по -5.

$$x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}, когато ± е плюс. Съберете -1500 с 100i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-1500+100\sqrt{39}i}{-10}$$

Разделете -1500+100i\sqrt{39} на -10.

$$x=-10\sqrt{39}i+150$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}, когато ± е минус. Извадете 100i\sqrt{39} от -1500.

$$x=\frac{-100\sqrt{39}i-1500}{-10}$$

Разделете -1500-100i\sqrt{39} на -10.

$$x=150+10\sqrt{39}i$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-10\sqrt{39}i+150 x=150+10\sqrt{39}i$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1000-5x по x-100 и да групирате подобните членове.

$$1500x-100000-5x^{2}=32000$$

Добавете 100000 от двете страни.

$$1500x-5x^{2}=32000+100000$$

Съберете 32000 и 100000, за да се получи 132000.

$$1500x-5x^{2}=132000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+1500x=132000$$

Разделете двете страни на -5.

$$\frac{-5x^{2}+1500x}{-5}=\frac{132000}{-5}$$

Делението на -5 отменя умножението по -5.

$$x^{2}+\frac{1500}{-5}x=\frac{132000}{-5}$$

Разделете 1500 на -5.

$$x^{2}-300x=\frac{132000}{-5}$$

Разделете 132000 на -5.

$$x^{2}-300x=-26400$$

Разделете -300 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -150. След това съберете квадрата на -150 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-300x+\left(-150\right)^{2}=-26400+\left(-150\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -150.

$$x^{2}-300x+22500=-26400+22500$$

Съберете -26400 с 22500.

$$x^{2}-300x+22500=-3900$$

Разложете на множител x^{2}-300x+22500. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-150\right)^{2}=-3900$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-150\right)^{2}}=\sqrt{-3900}$$

Опростявайте.

$$x-150=10\sqrt{39}i x-150=-10\sqrt{39}i$$

Съберете 150 към двете страни на уравнението.

$$x=150+10\sqrt{39}i x=-10\sqrt{39}i+150$$