Решете (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Решаване за x

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 100-x по 1300-5x и да групирате подобните членове.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Извадете 32000 и от двете страни.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Извадете 32000 от 130000, за да получите 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -1800 вместо b и 98000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -1800.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Съберете 3240000 с -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 1280000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Противоположното на -1800 е 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}, когато ± е плюс. Съберете 1800 с 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Разделете 1800+800\sqrt{2} на 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Сега решете уравнението x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}, когато ± е минус. Извадете 800\sqrt{2} от 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Разделете 1800-800\sqrt{2} на 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 100-x по 1300-5x и да групирате подобните членове.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Извадете 130000 и от двете страни.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Извадете 130000 от 32000, за да получите -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Разделете -1800 на 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Разделете -98000 на 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Разделете -360 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -180. След това съберете квадрата на -180 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -180.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Съберете -19600 с 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Разложете на множител x^{2}-360x+32400. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Опростявайте.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Съберете 180 към двете страни на уравнението.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$