Решете (y-2)^2+14=8y-3y

$$( y - 2 ) ^ { 2 } + 14 = 8 y - 3 y$$

Решаване за y

$$y=3$$

$$y=6$$

Стъпки с разлагане на множители

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$y^{2}-4y+4+14=8y-3y$$

Съберете 4 и 14, за да се получи 18.

$$y^{2}-4y+18=8y-3y$$

Групирайте 8y и -3y, за да получите 5y.

$$y^{2}-4y+18=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$y^{2}-4y+18-5y=0$$

Групирайте -4y и -5y, за да получите -9y.

$$y^{2}-9y+18=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът y^{2}-9y+18 с помощта на формула y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-9 ab=18$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 18 на продукта.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Решението е двойката, която дава сума -9.

$$a=-6 b=-3$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(y+a\right)\left(y+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(y-6\right)\left(y-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете y-6=0 и y-3=0.

$$y=6 y=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$y^{2}-4y+4+14=8y-3y$$

Съберете 4 и 14, за да се получи 18.

$$y^{2}-4y+18=8y-3y$$

Групирайте 8y и -3y, за да получите 5y.

$$y^{2}-4y+18=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$y^{2}-4y+18-5y=0$$

Групирайте -4y и -5y, за да получите -9y.

$$y^{2}-9y+18=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като y^{2}+ay+by+18. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-9 ab=1\times 18=18$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 18 на продукта.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Решението е двойката, която дава сума -9.

$$a=-6 b=-3$$

Напишете y^{2}-9y+18 като \left(y^{2}-6y\right)+\left(-3y+18\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-3y+18\right)$$

Фактор, y в първата и -3 във втората група.

$$y\left(y-6\right)-3\left(y-6\right)$$

Разложете на множители общия член y-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(y-6\right)\left(y-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете y-6=0 и y-3=0.

$$y=6 y=3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$y^{2}-4y+4+14=8y-3y$$

Съберете 4 и 14, за да се получи 18.

$$y^{2}-4y+18=8y-3y$$

Групирайте 8y и -3y, за да получите 5y.

$$y^{2}-4y+18=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$y^{2}-4y+18-5y=0$$

Групирайте -4y и -5y, за да получите -9y.

$$y^{2}-9y+18=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -9 вместо b и 18 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18}}{2}$$

Умножете -4 по 18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2}$$

Съберете 81 с -72.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±3}{2}$$

Противоположното на -9 е 9.

$$y=\frac{9±3}{2}$$

Сега решете уравнението y=\frac{9±3}{2}, когато ± е плюс. Съберете 9 с 3.

$$y=\frac{12}{2}$$

Разделете 12 на 2.

$$y=6$$

Сега решете уравнението y=\frac{9±3}{2}, когато ± е минус. Извадете 3 от 9.

$$y=\frac{6}{2}$$

Разделете 6 на 2.

$$y=3$$

Уравнението сега е решено.

$$y=6 y=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(y-2\right)^{2}.

$$y^{2}-4y+4+14=8y-3y$$

Съберете 4 и 14, за да се получи 18.

$$y^{2}-4y+18=8y-3y$$

Групирайте 8y и -3y, за да получите 5y.

$$y^{2}-4y+18=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$y^{2}-4y+18-5y=0$$

Групирайте -4y и -5y, за да получите -9y.

$$y^{2}-9y+18=0$$

Извадете 18 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$y^{2}-9y=-18$$

Разделете -9 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}-9y+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}-9y+\frac{81}{4}=-18+\frac{81}{4}$$

Съберете -18 с \frac{81}{4}.

$$y^{2}-9y+\frac{81}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложете на множител y^{2}-9y+\frac{81}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Опростявайте.

$$y-\frac{9}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{9}{2} към двете страни на уравнението.

$$y=6 y=3$$