Решете (x-7)^2-8=17

$$( x - 7 ) ^ { 2 } - 8 = 17$$

Решаване за x

$$x=12$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Извадете 8 от 49, за да получите 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Извадете 17 и от двете страни.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Извадете 17 от 41, за да получите 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}-14x+24 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-14 ab=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -14.

$$a=-12 b=-2$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Извадете 8 от 49, за да получите 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Извадете 17 и от двете страни.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Извадете 17 от 41, за да получите 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-14 ab=1\times 24=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -14.

$$a=-12 b=-2$$

Напишете x^{2}-14x+24 като \left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right)$$

Фактор, x в първата и -2 във втората група.

$$x\left(x-12\right)-2\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Извадете 8 от 49, за да получите 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Извадете 17 и от двете страни.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Извадете 17 от 41, за да получите 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -14 вместо b и 24 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 24}}{2}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-96}}{2}$$

Съберете 196 с -96.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Получете корен квадратен от 100.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10}{2}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±10}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±10}{2}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 10.

$$x=\frac{24}{2}$$

Разделете 24 на 2.

$$x=12$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±10}{2}, когато ± е минус. Извадете 10 от 14.

$$x=\frac{4}{2}$$

Разделете 4 на 2.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=12 x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Извадете 8 от 49, за да получите 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Извадете 41 и от двете страни.

$$x^{2}-14x=17-41$$

Извадете 41 от 17, за да получите -24.

$$x^{2}-14x=-24$$

Разделете -14 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -7. След това съберете квадрата на -7 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Съберете -24 с 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Разложете на множител x^{2}-14x+49. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Опростявайте.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Съберете 7 към двете страни на уравнението.

$$x=12 x=2$$