Решете (x-40)(500-10x)=8000

$$( x - 40 ) ( 500 - 10 x ) = 8000$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=45+5\sqrt{31}i\approx 45+27,838821814i$$

$$x=-5\sqrt{31}i+45\approx 45-27,838821814i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-40 по 500-10x и да групирате подобните членове.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Извадете 8000 и от двете страни.

$$900x-10x^{2}-20000-8000=0$$

Извадете 8000 от -20000, за да получите -28000.

$$900x-10x^{2}-28000=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-10x^{2}+900x-28000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -10 вместо a, 900 вместо b и -28000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-900±\sqrt{900^{2}-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Повдигане на квадрат на 900.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете -4 по -10.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000+40\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 40 по -28000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-1120000}}{2\left(-10\right)}$$

Съберете 810000 с -1120000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{-310000}}{2\left(-10\right)}$$

Получете корен квадратен от -310000.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 2 по -10.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}, когато ± е плюс. Съберете -900 с 100i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-900+100\sqrt{31}i}{-20}$$

Разделете -900+100i\sqrt{31} на -20.

$$x=-5\sqrt{31}i+45$$

Сега решете уравнението x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}, когато ± е минус. Извадете 100i\sqrt{31} от -900.

$$x=\frac{-100\sqrt{31}i-900}{-20}$$

Разделете -900-100i\sqrt{31} на -20.

$$x=45+5\sqrt{31}i$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-5\sqrt{31}i+45 x=45+5\sqrt{31}i$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-40 по 500-10x и да групирате подобните членове.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Добавете 20000 от двете страни.

$$900x-10x^{2}=8000+20000$$

Съберете 8000 и 20000, за да се получи 28000.

$$900x-10x^{2}=28000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+900x=28000$$

Разделете двете страни на -10.

$$\frac{-10x^{2}+900x}{-10}=\frac{28000}{-10}$$

Делението на -10 отменя умножението по -10.

$$x^{2}+\frac{900}{-10}x=\frac{28000}{-10}$$

Разделете 900 на -10.

$$x^{2}-90x=\frac{28000}{-10}$$

Разделете 28000 на -10.

$$x^{2}-90x=-2800$$

Разделете -90 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -45. След това съберете квадрата на -45 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-2800+\left(-45\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -45.

$$x^{2}-90x+2025=-2800+2025$$

Съберете -2800 с 2025.

$$x^{2}-90x+2025=-775$$

Разложете на множител x^{2}-90x+2025. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=-775$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{-775}$$

Опростявайте.

$$x-45=5\sqrt{31}i x-45=-5\sqrt{31}i$$

Съберете 45 към двете страни на уравнението.

$$x=45+5\sqrt{31}i x=-5\sqrt{31}i+45$$