Решете (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 3x+6 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 12x+48 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Групирайте 3x^{2} и 12x^{2}, за да получите 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Извадете 192 от -24, за да получите -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Разделете двете страни на 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx-72. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -360 на продукта.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -2.

$$a=-20 b=18$$

Напишете 5x^{2}-2x-72 като \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right).

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Фактор, 5x в първата и 18 във втората група.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Разложете на множители общия член x-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-4=0 и 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 3x+6 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 12x+48 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Групирайте 3x^{2} и 12x^{2}, за да получите 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Извадете 192 от -24, за да получите -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 15 вместо a, -6 вместо b и -216 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Повдигане на квадрат на -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -4 по 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -60 по -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Съберете 36 с 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Получете корен квадратен от 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

Противоположното на -6 е 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Умножете 2 по 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Сега решете уравнението x=\frac{6±114}{30}, когато ± е плюс. Съберете 6 с 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Разделете 120 на 30.

$$x=4$$

Сега решете уравнението x=\frac{6±114}{30}, когато ± е минус. Извадете 114 от 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Намаляване на дробта \frac{-108}{30} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 3x+6 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 12x+48 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Групирайте 3x^{2} и 12x^{2}, за да получите 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Извадете 192 от -24, за да получите -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Добавете 216 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$15x^{2}-6x=216$$

Разделете двете страни на 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

Делението на 15 отменя умножението по 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{15} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Намаляване на дробта \frac{216}{15} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Разделете -\frac{2}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{5}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Съберете \frac{72}{5} и \frac{1}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Съберете \frac{1}{5} към двете страни на уравнението.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$