Решете (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-4\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}, за да разложите \left(x+3\right)^{3}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-8x+16 по x^{3}+9x^{2}+27x+27 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -432, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 на x-1, за да получите x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 432, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 на x+3, за да получите x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 144, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 на x+3, за да получите x^{3}-5x^{2}-8x+48. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 48, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-5x^{2}-8x+48 на x+3, за да получите x^{2}-8x+16. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-8x+16=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -8 за b и 16 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

Решенията са еднакви.

$$x=4$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-3 x=4$$