Решете (x-3)^2=(2x+1)^2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=-4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-6x+9-4x^{2}=4x+1$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-6x+9=4x+1$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$-3x^{2}-6x+9-4x=1$$

Групирайте -6x и -4x, за да получите -10x.

$$-3x^{2}-10x+9=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-3x^{2}-10x+9-1=0$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$-3x^{2}-10x+8=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-10 ab=-3\times 8=-24$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -24 на продукта.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -10.

$$a=2 b=-12$$

Напишете -3x^{2}-10x+8 като \left(-3x^{2}+2x\right)+\left(-12x+8\right).

$$\left(-3x^{2}+2x\right)+\left(-12x+8\right)$$

Фактор, -x в първата и -4 във втората група.

$$-x\left(3x-2\right)-4\left(3x-2\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-2\right)\left(-x-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-2=0 и -x-4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-6x+9-4x^{2}=4x+1$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-6x+9=4x+1$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$-3x^{2}-6x+9-4x=1$$

Групирайте -6x и -4x, за да получите -10x.

$$-3x^{2}-10x+9=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-3x^{2}-10x+9-1=0$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$-3x^{2}-10x+8=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, -10 вместо b и 8 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+12\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 100 с 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\left(-3\right)}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$x=\frac{10±14}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{10±14}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±14}{-6}, когато ± е плюс. Съберете 10 с 14.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Разделете 24 на -6.

$$x=-4$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±14}{-6}, когато ± е минус. Извадете 14 от 10.

$$x=-\frac{4}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{-4}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-4 x=\frac{2}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-6x+9-4x^{2}=4x+1$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-6x+9=4x+1$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$-3x^{2}-6x+9-4x=1$$

Групирайте -6x и -4x, за да получите -10x.

$$-3x^{2}-10x+9=1$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$-3x^{2}-10x=1-9$$

Извадете 9 от 1, за да получите -8.

$$-3x^{2}-10x=-8$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}-10x}{-3}=-\frac{8}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-3}\right)x=-\frac{8}{-3}$$

Разделете -10 на -3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{8}{-3}$$

Разделете -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Разделете \frac{10}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{3}. След това съберете квадрата на \frac{5}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Съберете \frac{8}{3} и \frac{25}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Извадете \frac{5}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{2}{3} x=-4$$