Решете (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Решаване за x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Стъпки на решението

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Решете уравнението x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\left(\sqrt{2}+3\right) и x-\left(3-\sqrt{2}\right) трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\left(\sqrt{2}+3\right) е положително, а x-\left(3-\sqrt{2}\right) е отрицателно.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\left(3-\sqrt{2}\right) е положително, а x-\left(\sqrt{2}+3\right) е отрицателно.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$