Решете (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3,464101615i$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Извадете 64 и от двете страни.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Извадете 64 от -8, за да получите -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -72, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=6$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-6x^{2}+12x-72 на x-6, за да получите x^{2}+12. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+12=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 12 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+12=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Решаване за x

$$x=6$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Извадете 64 и от двете страни.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Извадете 64 от -8, за да получите -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -72, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=6$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-6x^{2}+12x-72 на x-6, за да получите x^{2}+12. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+12=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 12 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=6$$