Решете (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Решаване за x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Стъпки на решението

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -4 за b и -3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Решете уравнението x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

За да бъде произведението ≥0, трябва и двата множителя x-\left(\sqrt{7}+2\right) и x-\left(2-\sqrt{7}\right) да бъдат ≤0 или и двата да бъдат ≥0. Разгледайте случая, когато x-\left(\sqrt{7}+2\right) и x-\left(2-\sqrt{7}\right) са ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Разгледайте случая, когато x-\left(\sqrt{7}+2\right) и x-\left(2-\sqrt{7}\right) са ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$