Решете (x-1)(x+5)(x+8)(x+2)-880=0

$$( x - 1 ) ( x + 5 ) ( x + 8 ) ( x + 2 ) - 880 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-10$$

$$x=3$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}i-7}{2}\approx -3,5-4,444097209i$$

$$x=\frac{-7+\sqrt{79}i}{2}\approx -3,5+4,444097209i$$

Стъпки на решението

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)-880=0$$

Умножете и групирайте подобните членове.

$$x^{4}+14x^{3}+51x^{2}+14x-960=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -960, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±960,±480,±320,±240,±192,±160,±120,±96,±80,±64,±60,±48,±40,±32,±30,±24,±20,±16,±15,±12,±10,±8,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+14x^{3}+51x^{2}+14x-960 на x-3, за да получите x^{3}+17x^{2}+102x+320. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+17x^{2}+102x+320=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 320, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±320,±160,±80,±64,±40,±32,±20,±16,±10,±8,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-10$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+17x^{2}+102x+320 на x+10, за да получите x^{2}+7x+32. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+32=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 32 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 32}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-79}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+7x+32=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-\sqrt{79}i-7}{2} x=\frac{-7+\sqrt{79}i}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=3 x=-10 x=\frac{-\sqrt{79}i-7}{2} x=\frac{-7+\sqrt{79}i}{2}$$

Решаване за x

$$x=-10$$

$$x=3$$

Стъпки на решението

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)-880=0$$

Умножете и групирайте подобните членове.

$$x^{4}+14x^{3}+51x^{2}+14x-960=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -960, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±960,±480,±320,±240,±192,±160,±120,±96,±80,±64,±60,±48,±40,±32,±30,±24,±20,±16,±15,±12,±10,±8,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+14x^{3}+51x^{2}+14x-960 на x-3, за да получите x^{3}+17x^{2}+102x+320. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+17x^{2}+102x+320=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 320, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±320,±160,±80,±64,±40,±32,±20,±16,±10,±8,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-10$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+17x^{2}+102x+320 на x+10, за да получите x^{2}+7x+32. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+32=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 32 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 32}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-79}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=3 x=-10$$