Решете (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

Решаване за x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-3 по x+4 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

За да намерите противоположната стойност на 2x^{2}+5x-12, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x и -5x, за да получите -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Съберете -2 и 12, за да се получи 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Групирайте -4x и -x, за да получите -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Съберете 10 и 14, за да се получи 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -24 на продукта.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=3 b=-8$$

Напишете -x^{2}-5x+24 като \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Фактор, x в първата и 8 във втората група.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Разложете на множители общия член -x+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+3=0 и x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-3 по x+4 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

За да намерите противоположната стойност на 2x^{2}+5x-12, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x и -5x, за да получите -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Съберете -2 и 12, за да се получи 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Групирайте -4x и -x, за да получите -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Съберете 10 и 14, за да се получи 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -5 вместо b и 24 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 25 с 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±11}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 5 с 11.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Разделете 16 на -2.

$$x=-8$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±11}{-2}, когато ± е минус. Извадете 11 от 5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Разделете -6 на -2.

$$x=3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-8 x=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-3 по x+4 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

За да намерите противоположната стойност на 2x^{2}+5x-12, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Групирайте x и -5x, за да получите -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Съберете -2 и 12, за да се получи 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Групирайте -4x и -x, за да получите -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Съберете 10 и 14, за да се получи 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Извадете 24 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-x^{2}-5x=-24$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Разделете -5 на -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

Разделете -24 на -1.

$$x^{2}+5x=24$$

Разделете 5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{2}. След това съберете квадрата на \frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Съберете 24 с \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Извадете \frac{5}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=3 x=-8$$