Решете (x-1)^3=54/2

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = \frac { 54 } { 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-2,598076211i$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Разделете 54 на 2, за да получите 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Извадете 27 и от двете страни.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Извадете 27 от -1, за да получите -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -28, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=4$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-3x^{2}+3x-28 на x-4, за да получите x^{2}+x+7. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 1 за b и 7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+x+7=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Решаване за x

$$x=4$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Разделете 54 на 2, за да получите 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Извадете 27 и от двете страни.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Извадете 27 от -1, за да получите -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -28, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=4$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-3x^{2}+3x-28 на x-4, за да получите x^{2}+x+7. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 1 за b и 7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=4$$