Решете (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x по x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Добавете 4x от двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Групирайте -2x и 4x, за да получите 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=3 b=-1$$

Напишете -3x^{2}+2x+1 като \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Разложете на множители 3x в -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Разложете на множители общия член -x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+1=0 и 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x по x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Добавете 4x от двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Групирайте -2x и 4x, за да получите 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 4 с 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±4}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±4}{-6}, когато ± е минус. Извадете 4 от -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Разделете -6 на -6.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x по x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Добавете 4x от двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Групирайте -2x и 4x, за да получите 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Разделете 2 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Разделете -1 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Разделете -\frac{2}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Съберете \frac{1}{3} и \frac{1}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Съберете \frac{1}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$