Решете (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Решаване за x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Групирайте -2x и 8x, за да получите 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Извадете 16 от 5, за да получите -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx-11. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -55 на продукта.

$$-1,55 -5,11$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Решението е двойката, която дава сума 6.

$$a=-5 b=11$$

Напишете 5x^{2}+6x-11 като \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Фактор, 5x в първата и 11 във втората група.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Групирайте -2x и 8x, за да получите 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Извадете 16 от 5, за да получите -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, 6 вместо b и -11 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Съберете 36 с 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6±16}{10}, когато ± е плюс. Съберете -6 с 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделете 10 на 10.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6±16}{10}, когато ± е минус. Извадете 16 от -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{-22}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Групирайте -2x и 8x, за да получите 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Извадете 5 от 16, за да получите 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Разделете \frac{6}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{3}{5}. След това съберете квадрата на \frac{3}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{3}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Съберете \frac{11}{5} и \frac{9}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Извадете \frac{3}{5} и от двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$