Решете (x^2+3x)^2-2(x^2+3x)=8

$$( x ^ { 2 } + 3 x ) ^ { 2 } - 2 ( x ^ { 2 } + 3 x ) = 8$$

Решаване за x

$$x=-4$$

$$x=1$$

$$x=-1$$

$$x=-2$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}+3x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}+6x^{2}x+9x^{2}-2\left(x^{2}+3x\right)=8$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$x^{4}+6x^{2}x+9x^{2}-2\left(x^{2}+3x\right)=8$$

За да умножите степени с една и съща основа, съберете техните експоненти. Съберете 2 и 1, за да получите 3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-2\left(x^{2}+3x\right)=8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x^{2}+3x.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-2x^{2}-6x=8$$

Групирайте 9x^{2} и -2x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x-8=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+6x^{3}+7x^{2}-6x-8 на x-1, за да получите x^{3}+7x^{2}+14x+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+7x^{2}+14x+8=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+7x^{2}+14x+8 на x+1, за да получите x^{2}+6x+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 6 за b и 8 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-6±2}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+6x+8=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-4 x=-2$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-1 x=-4 x=-2$$