Решете (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Решаване за x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-4x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Извадете 16 от 8, за да получите -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx-8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=6 b=4$$

Напишете -3x^{2}+10x-8 като \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Фактор, 3x в първата и -4 във втората група.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Разложете на множители общия член -x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+2=0 и 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-4x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Извадете 16 от 8, за да получите -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 10 вместо b и -8 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 100 с -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±2}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -10 с 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±2}{-6}, когато ± е минус. Извадете 2 от -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Разделете -12 на -6.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-4x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Извадете 8 от 16, за да получите 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Разделете 10 на -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Разделете 8 на -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Разделете -\frac{10}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Съберете -\frac{8}{3} и \frac{25}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Съберете \frac{5}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$