Решете (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Сметнете \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложете \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Изчислявате 2 на степен 3 и получавате 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Групирайте x^{2} и 9x^{2}, за да получите 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Извадете 64 от 9, за да получите -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Съберете -55 и 1, за да се получи -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Извадете 9x и от двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Групирайте 6x и -9x, за да получите -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Извадете 18 и от двете страни.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Извадете 18 от -54, за да получите -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 7x^{2}+ax+bx-72. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -504 на продукта.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Решението е двойката, която дава сума -3.

$$a=-24 b=21$$

Напишете 7x^{2}-3x-72 като \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Фактор, x в първата и 3 във втората група.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Разложете на множители общия член 7x-24, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 7x-24=0 и x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Сметнете \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложете \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Изчислявате 2 на степен 3 и получавате 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Групирайте x^{2} и 9x^{2}, за да получите 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Извадете 64 от 9, за да получите -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Съберете -55 и 1, за да се получи -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Извадете 9x и от двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Групирайте 6x и -9x, за да получите -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Извадете 18 и от двете страни.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Извадете 18 от -54, за да получите -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 7 вместо a, -3 вместо b и -72 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Умножете -4 по 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Умножете -28 по -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Съберете 9 с 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Получете корен квадратен от 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Умножете 2 по 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±45}{14}, когато ± е плюс. Съберете 3 с 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Намаляване на дробта \frac{48}{14} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±45}{14}, когато ± е минус. Извадете 45 от 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Разделете -42 на 14.

$$x=-3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Сметнете \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложете \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Изчислявате 2 на степен 3 и получавате 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Групирайте x^{2} и 9x^{2}, за да получите 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Извадете 64 от 9, за да получите -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Съберете -55 и 1, за да се получи -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Извадете 9x и от двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Групирайте 6x и -9x, за да получите -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Добавете 54 от двете страни.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Съберете 18 и 54, за да се получи 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Разделете двете страни на 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Делението на 7 отменя умножението по 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Разделете -\frac{3}{7} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{14}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{14} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{14}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Съберете \frac{72}{7} и \frac{9}{196}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Съберете \frac{3}{14} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$