Решете (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Решаване за v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Извадете 2v^{2} и от двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Групирайте v^{2} и -2v^{2}, за да получите -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Извадете 2v и от двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Групирайте 8v и -2v, за да получите 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Извадете 9 от 16, за да получите 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -v^{2}+av+bv+7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=7 b=-1$$

Напишете -v^{2}+6v+7 като \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Фактор, -v в първата и -1 във втората група.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Разложете на множители общия член v-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете v-7=0 и -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Извадете 2v^{2} и от двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Групирайте v^{2} и -2v^{2}, за да получите -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Извадете 2v и от двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Групирайте 8v и -2v, за да получите 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Извадете 9 от 16, за да получите 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 6 вместо b и 7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 36 с 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Сега решете уравнението v=\frac{-6±8}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -6 с 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Разделете 2 на -2.

$$v=-1$$

Сега решете уравнението v=\frac{-6±8}{-2}, когато ± е минус. Извадете 8 от -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Разделете -14 на -2.

$$v=7$$

Уравнението сега е решено.

$$v=-1 v=7$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Извадете 2v^{2} и от двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Групирайте v^{2} и -2v^{2}, за да получите -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Извадете 2v и от двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Групирайте 8v и -2v, за да получите 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Извадете 16 от 9, за да получите -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Разделете 6 на -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Разделете -7 на -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Разделете -6 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -3. След това съберете квадрата на -3 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Съберете 7 с 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Разложете на множител v^{2}-6v+9. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Опростявайте.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Съберете 3 към двете страни на уравнението.

$$v=7 v=-1$$