Решете (u+3)^2=2u^2+8u-6

$$( u + 3 ) ^ { 2 } = 2 u ^ { 2 } + 8 u - 6$$

Решаване за u

$$u=-5$$

$$u=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+3\right)^{2}.

$$u^{2}+6u+9=2u^{2}+8u-6$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+6u+9-2u^{2}=8u-6$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+6u+9=8u-6$$

Извадете 8u и от двете страни.

$$-u^{2}+6u+9-8u=-6$$

Групирайте 6u и -8u, за да получите -2u.

$$-u^{2}-2u+9=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$-u^{2}-2u+9+6=0$$

Съберете 9 и 6, за да се получи 15.

$$-u^{2}-2u+15=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -u^{2}+au+bu+15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-2 ab=-15=-15$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -15 на продукта.

$$1,-15 3,-5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -2.

$$a=3 b=-5$$

Напишете -u^{2}-2u+15 като \left(-u^{2}+3u\right)+\left(-5u+15\right).

$$\left(-u^{2}+3u\right)+\left(-5u+15\right)$$

Фактор, u в първата и 5 във втората група.

$$u\left(-u+3\right)+5\left(-u+3\right)$$

Разложете на множители общия член -u+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-u+3\right)\left(u+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -u+3=0 и u+5=0.

$$u=3 u=-5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+3\right)^{2}.

$$u^{2}+6u+9=2u^{2}+8u-6$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+6u+9-2u^{2}=8u-6$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+6u+9=8u-6$$

Извадете 8u и от двете страни.

$$-u^{2}+6u+9-8u=-6$$

Групирайте 6u и -8u, за да получите -2u.

$$-u^{2}-2u+9=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$-u^{2}-2u+9+6=0$$

Съберете 9 и 6, за да се получи 15.

$$-u^{2}-2u+15=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -2 вместо b и 15 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 15.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 4 с 60.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 64.

$$u=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$u=\frac{2±8}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$u=\frac{2±8}{-2}$$

Сега решете уравнението u=\frac{2±8}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 8.

$$u=\frac{10}{-2}$$

Разделете 10 на -2.

$$u=-5$$

Сега решете уравнението u=\frac{2±8}{-2}, когато ± е минус. Извадете 8 от 2.

$$u=-\frac{6}{-2}$$

Разделете -6 на -2.

$$u=3$$

Уравнението сега е решено.

$$u=-5 u=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+3\right)^{2}.

$$u^{2}+6u+9=2u^{2}+8u-6$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+6u+9-2u^{2}=8u-6$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+6u+9=8u-6$$

Извадете 8u и от двете страни.

$$-u^{2}+6u+9-8u=-6$$

Групирайте 6u и -8u, за да получите -2u.

$$-u^{2}-2u+9=-6$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$-u^{2}-2u=-6-9$$

Извадете 9 от -6, за да получите -15.

$$-u^{2}-2u=-15$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-u^{2}-2u}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)u=-\frac{15}{-1}$$

Разделете -2 на -1.

$$u^{2}+2u=-\frac{15}{-1}$$

Разделете -15 на -1.

$$u^{2}+2u=15$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$u^{2}+2u+1^{2}=15+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$u^{2}+2u+1=15+1$$

Съберете 15 с 1.

$$u^{2}+2u+1=16$$

Разложете на множител u^{2}+2u+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+1\right)^{2}=16$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(u+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Опростявайте.

$$u+1=4 u+1=-4$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$u=3 u=-5$$