Решете (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Решаване за x

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Стъпки на решението

Изчислявате 2 на степен 6 и получавате 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Извадете 8x и от двете страни.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x} и получавате x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Съберете 36 и 36, за да се получи 72.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Групирайте 4x и -8x, за да получите -4x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Извадете 72 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Извадете -4x и от двете страни на уравнението.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Разложете \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -24 и получавате 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x} и получавате x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x-72\right)^{2}.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Извадете 16x^{2} и от двете страни.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Добавете 576x от двете страни.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Групирайте 576x и 576x, за да получите 1152x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Извадете 5184 и от двете страни.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -16 вместо a, 1152 вместо b и -5184 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Повдигане на квадрат на 1152.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете -4 по -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 64 по -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Съберете 1327104 с -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Получете корен квадратен от 995328.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Умножете 2 по -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}, когато ± е плюс. Съберете -1152 с 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Разделете -1152+576\sqrt{3} на -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}, когато ± е минус. Извадете 576\sqrt{3} от -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Разделете -1152-576\sqrt{3} на -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

Уравнението сега е решено.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Заместете 36-18\sqrt{3} вместо x в уравнението \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Опростявайте. Стойността x=36-18\sqrt{3} отговаря на уравнението.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Заместете 18\sqrt{3}+36 вместо x в уравнението \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Опростявайте. Стойността x=18\sqrt{3}+36 не отговаря на уравнението.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

Уравнението -24\sqrt{x}=4x-72 има уникално решение.

$$x=36-18\sqrt{3}$$