Решете (5x-7)^2-5(2x+1)(x-2)=-x^2-[-(3x+1)]

$$( 5 x - 7 ) ^ { 2 } - 5 ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = - x ^ { 2 } - [ - ( 3 x + 1 ) ]$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}\approx 1,8125+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}\approx 1,8125-0,582961191i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 3x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на -3x-1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -5 по 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -10x-5 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Групирайте 25x^{2} и -10x^{2}, за да получите 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Групирайте -70x и 15x, за да получите -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x-1=0$$

Съберете 49 и 10, за да се получи 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x-1=0$$

Групирайте 15x^{2} и x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x-1=0$$

Групирайте -55x и -3x, за да получите -58x.

$$16x^{2}-58x+59-1=0$$

Извадете 1 от 59, за да получите 58.

$$16x^{2}-58x+58=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, -58 вместо b и 58 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-64\times 58}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по 58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-3712}}{2\times 16}$$

Съберете 3364 с -3712.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{-348}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от -348.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Противоположното на -58 е 58.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32}, когато ± е плюс. Съберете 58 с 2i\sqrt{87}.

$$x=\frac{58+2\sqrt{87}i}{32}$$

Разделете 58+2i\sqrt{87} на 32.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32}, когато ± е минус. Извадете 2i\sqrt{87} от 58.

$$x=\frac{-2\sqrt{87}i+58}{32}$$

Разделете 58-2i\sqrt{87} на 32.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 3x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на -3x-1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -5 по 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -10x-5 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Групирайте 25x^{2} и -10x^{2}, за да получите 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Групирайте -70x и 15x, за да получите -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x=1$$

Съберете 49 и 10, за да се получи 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x=1$$

Групирайте 15x^{2} и x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x=1$$

Групирайте -55x и -3x, за да получите -58x.

$$16x^{2}-58x+59=1$$

Извадете 59 и от двете страни.

$$16x^{2}-58x=1-59$$

Извадете 59 от 1, за да получите -58.

$$16x^{2}-58x=-58$$

Разделете двете страни на 16.

$$\frac{16x^{2}-58x}{16}=-\frac{58}{16}$$

Делението на 16 отменя умножението по 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{58}{16}\right)x=-\frac{58}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{-58}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{58}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{-58}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{29}{8}$$

Разделете -\frac{29}{8} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{29}{16}. След това съберете квадрата на -\frac{29}{16} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{29}{8}+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{29}{16}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{29}{8}+\frac{841}{256}$$

Съберете -\frac{29}{8} и \frac{841}{256}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{87}{256}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{29}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x-\frac{29}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Съберете \frac{29}{16} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$