Решете (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Решаване за x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Извадете 81 и от двете страни.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Извадете 81 от 16, за да получите -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Разделете двете страни на 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx-13. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -65 на продукта.

$$1,-65 5,-13$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-13 b=5$$

Напишете 5x^{2}-8x-13 като \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Разложете на множители x в 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Разложете на множители общия член 5x-13, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 5x-13=0 и x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Извадете 81 и от двете страни.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Извадете 81 от 16, за да получите -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 25 вместо a, -40 вместо b и -65 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Съберете 1600 с 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Противоположното на -40 е 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Сега решете уравнението x=\frac{40±90}{50}, когато ± е плюс. Съберете 40 с 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{130}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{40±90}{50}, когато ± е минус. Извадете 90 от 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Разделете -50 на 50.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Извадете 16 от 81, за да получите 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Разделете двете страни на 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Делението на 25 отменя умножението по 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{25} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Намаляване на дробта \frac{65}{25} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Разделете -\frac{8}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{4}{5}. След това съберете квадрата на -\frac{4}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{4}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Съберете \frac{13}{5} и \frac{16}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Съберете \frac{4}{5} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$