Решете (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на 9x^{2}+24x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Групирайте 25x^{2} и -9x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Групирайте -20x и -24x, за да получите -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Извадете 16 от 4, за да получите -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -12 на продукта.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -11.

$$a=-12 b=1$$

Напишете 4x^{2}-11x-3 като \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Разложете на множители 4x в 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-3=0 и 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на 9x^{2}+24x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Групирайте 25x^{2} и -9x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Групирайте -20x и -24x, за да получите -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Извадете 16 от 4, за да получите -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, -44 вместо b и -12 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -44.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Съберете 1936 с 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 2704.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

Противоположното на -44 е 44.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{44±52}{32}, когато ± е плюс. Съберете 44 с 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

Разделете 96 на 32.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{44±52}{32}, когато ± е минус. Извадете 52 от 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на 9x^{2}+24x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Групирайте 25x^{2} и -9x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Групирайте -20x и -24x, за да получите -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Извадете 16 от 4, за да получите -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Добавете 12 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$16x^{2}-44x=12$$

Разделете двете страни на 16.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

Делението на 16 отменя умножението по 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{-44}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Разделете -\frac{11}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Съберете \frac{3}{4} и \frac{121}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Съберете \frac{11}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$