Решете (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Сметнете \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложете \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Групирайте 25x^{2} и -4x^{2}, за да получите 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Съберете 4 и 1, за да се получи 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Извадете 47 и от двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Извадете 47 от 5, за да получите -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Извадете x и от двете страни.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Групирайте -20x и -x, за да получите -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Разделете двете страни на 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-2 b=1$$

Напишете x^{2}-x-2 като \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Разложете на множители x в x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-2=0 и x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Сметнете \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложете \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Групирайте 25x^{2} и -4x^{2}, за да получите 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Съберете 4 и 1, за да се получи 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Извадете 47 и от двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Извадете 47 от 5, за да получите -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Извадете x и от двете страни.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Групирайте -20x и -x, за да получите -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 21 вместо a, -21 вместо b и -42 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Повдигане на квадрат на -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -4 по 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -84 по -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Съберете 441 с 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Получете корен квадратен от 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Противоположното на -21 е 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Умножете 2 по 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Сега решете уравнението x=\frac{21±63}{42}, когато ± е плюс. Съберете 21 с 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Разделете 84 на 42.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{21±63}{42}, когато ± е минус. Извадете 63 от 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Разделете -42 на 42.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Сметнете \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложете \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}-1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Групирайте 25x^{2} и -4x^{2}, за да получите 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Съберете 4 и 1, за да се получи 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Извадете x и от двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Групирайте -20x и -x, за да получите -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Извадете 5 от 47, за да получите 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Разделете двете страни на 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Делението на 21 отменя умножението по 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Разделете -21 на 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Разделете 42 на 21.

$$x^{2}-x=2$$

Разделете -1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Съберете 2 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-1$$