Решете (5x+8)^2=36

$$( 5 x + 8 ) ^ { 2 } = 36$$

Решаване за x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5} = -2,8$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Извадете 36 и от двете страни.

$$25x^{2}+80x+64-36=0$$

Извадете 36 от 64, за да получите 28.

$$25x^{2}+80x+28=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 25x^{2}+ax+bx+28. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=80 ab=25\times 28=700$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 700 на продукта.

$$1,700 2,350 4,175 5,140 7,100 10,70 14,50 20,35 25,28$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+700=701 2+350=352 4+175=179 5+140=145 7+100=107 10+70=80 14+50=64 20+35=55 25+28=53$$

Решението е двойката, която дава сума 80.

$$a=10 b=70$$

Напишете 25x^{2}+80x+28 като \left(25x^{2}+10x\right)+\left(70x+28\right).

$$\left(25x^{2}+10x\right)+\left(70x+28\right)$$

Фактор, 5x в първата и 14 във втората група.

$$5x\left(5x+2\right)+14\left(5x+2\right)$$

Разложете на множители общия член 5x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x+2\right)\left(5x+14\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 5x+2=0 и 5x+14=0.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Извадете 36 и от двете страни.

$$25x^{2}+80x+64-36=0$$

Извадете 36 от 64, за да получите 28.

$$25x^{2}+80x+28=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 25 вместо a, 80 вместо b и 28 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 25\times 28}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на 80.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 25\times 28}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-100\times 28}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по 28.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-2800}}{2\times 25}$$

Съберете 6400 с -2800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{3600}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 3600.

$$x=\frac{-80±60}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$x=\frac{-80±60}{50}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-80±60}{50}, когато ± е плюс. Съберете -80 с 60.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{-20}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-80±60}{50}, когато ± е минус. Извадете 60 от -80.

$$x=-\frac{140}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{-140}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{14}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Извадете 64 и от двете страни.

$$25x^{2}+80x=36-64$$

Извадете 64 от 36, за да получите -28.

$$25x^{2}+80x=-28$$

Разделете двете страни на 25.

$$\frac{25x^{2}+80x}{25}=-\frac{28}{25}$$

Делението на 25 отменя умножението по 25.

$$x^{2}+\frac{80}{25}x=-\frac{28}{25}$$

Намаляване на дробта \frac{80}{25} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 5.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=-\frac{28}{25}$$

Разделете \frac{16}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{8}{5}. След това съберете квадрата на \frac{8}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=-\frac{28}{25}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{8}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{-28+64}{25}$$

Съберете -\frac{28}{25} и \frac{64}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{36}{25}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{8}{5}=-\frac{6}{5}$$

Извадете \frac{8}{5} и от двете страни на уравнението.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$