Решете (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Решаване за x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Групирайте 48x и -2x, за да получите 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Извадете 3 от 36, за да получите 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 16x^{2}+ax+bx+33. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 528 на продукта.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Решението е двойката, която дава сума 46.

$$a=22 b=24$$

Напишете 16x^{2}+46x+33 като \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Фактор, 2x в първата и 3 във втората група.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Разложете на множители общия член 8x+11, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 8x+11=0 и 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Групирайте 48x и -2x, за да получите 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Извадете 3 от 36, за да получите 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, 46 вместо b и 33 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на 46.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Съберете 2116 с -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-46±2}{32}, когато ± е плюс. Съберете -46 с 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{-44}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-46±2}{32}, когато ± е минус. Извадете 2 от -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{-48}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Групирайте 48x и -2x, за да получите 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Извадете 36 и от двете страни.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Извадете 36 от 3, за да получите -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Разделете двете страни на 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Делението на 16 отменя умножението по 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{46}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Разделете \frac{23}{8} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{23}{16}. След това съберете квадрата на \frac{23}{16} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{23}{16}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Съберете -\frac{33}{16} и \frac{529}{256}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Извадете \frac{23}{16} и от двете страни на уравнението.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$