Решете (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Решаване за x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението по 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да повдигнете \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 48 по \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Тъй като \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Умножете 48 по 4, за да получите 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Разложете \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} като една дроб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Съкращаване на 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Групирайте x^{2}\times 3 и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Извадете 624 и от двете страни.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Извадете 624 от 192, за да получите -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+12x-108=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-108. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -108 на продукта.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Решението е двойката, която дава сума 12.

$$a=-6 b=18$$

Напишете x^{2}+12x-108 като \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Фактор, x в първата и 18 във втората група.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Разложете на множители общия член x-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-6=0 и x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да повдигнете \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 48 по \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Тъй като \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Умножете 48 по 4, за да получите 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Разложете \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} като една дроб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Съкращаване на 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Групирайте x^{2}\times 3 и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Извадете 624 и от двете страни.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Извадете 624 от 192, за да получите -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, 48 вместо b и -432 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Съберете 2304 с 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-48±96}{8}, когато ± е плюс. Съберете -48 с 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Разделете 48 на 8.

$$x=6$$

Сега решете уравнението x=\frac{-48±96}{8}, когато ± е минус. Извадете 96 от -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Разделете -144 на 8.

$$x=-18$$

Уравнението сега е решено.

$$x=6 x=-18$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да повдигнете \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 48 по \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Тъй като \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Умножете 48 по 4, за да получите 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Разложете \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} като една дроб.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Съкращаване на 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Умножете 16 по 3, за да получите 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Групирайте x^{2}\times 3 и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Извадете 192 и от двете страни.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Извадете 192 от 624, за да получите 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Разделете 48 на 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Разделете 432 на 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Разделете 12 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 6. След това съберете квадрата на 6 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Съберете 108 с 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Разложете на множител x^{2}+12x+36. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Опростявайте.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$x=6 x=-18$$