Решете (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-5 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Групирайте 3x^{2} и -x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, 1 за b и -10 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{-1±9}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

За да бъде произведението ≤0, една от стойностите x-2 и x+\frac{5}{2} трябва да бъде ≥0, а другата трябва да бъде ≤0. Разгледайте случая, когато x-2\geq 0 и x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-2\leq 0 и x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$