Решете (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+6x+9, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Групирайте 9x^{2} и -x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Групирайте -24x и -6x, за да получите -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Извадете 9 от 16, за да получите 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 8x^{2}+ax+bx+7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 56 на продукта.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Решението е двойката, която дава сума -30.

$$a=-28 b=-2$$

Напишете 8x^{2}-30x+7 като \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Фактор, 4x в първата и -1 във втората група.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-7=0 и 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+6x+9, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Групирайте 9x^{2} и -x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Групирайте -24x и -6x, за да получите -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Извадете 9 от 16, за да получите 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 8 вместо a, -30 вместо b и 7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Съберете 900 с -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Противоположното на -30 е 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{30±26}{16}, когато ± е плюс. Съберете 30 с 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{56}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{30±26}{16}, когато ± е минус. Извадете 26 от 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{4}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+6x+9, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Групирайте 9x^{2} и -x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Групирайте -24x и -6x, за да получите -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Извадете 9 от 16, за да получите 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Извадете 7 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Разделете двете страни на 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Делението на 8 отменя умножението по 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-30}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Разделете -\frac{15}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{15}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{15}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{15}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Съберете -\frac{7}{8} и \frac{225}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Съберете \frac{15}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$