Решете (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

Решаване за x

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2,549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0,549193338$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}+4x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Групирайте 9x^{2} и -4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Групирайте -6x и -4x, за да получите -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Извадете 7 и от двете страни.

$$5x^{2}-10x-7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -10 вместо b и -7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

Съберете 100 с 140.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 240.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}, когато ± е плюс. Съберете 10 с 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

Разделете 10+4\sqrt{15} на 10.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{15} от 10.

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

Разделете 10-4\sqrt{15} на 10.

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

За да намерите противоположната стойност на 4x^{2}+4x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Групирайте 9x^{2} и -4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Групирайте -6x и -4x, за да получите -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

Разделете -10 на 5.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

Разделете -2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -1. След това съберете квадрата на -1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

Съберете \frac{7}{5} с 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

Разложете на множител x^{2}-2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

Опростявайте.

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$