Решете (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Решаване за x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Извадете 9 от 1, за да получите -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 9x^{2}+ax+bx-8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -72 на продукта.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решението е двойката, която дава сума 6.

$$a=-6 b=12$$

Напишете 9x^{2}+6x-8 като \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Фактор, 3x в първата и 4 във втората група.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-2=0 и 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Извадете 9 от 1, за да получите -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, 6 вместо b и -8 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Съберете 36 с 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6±18}{18}, когато ± е плюс. Съберете -6 с 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6±18}{18}, когато ± е минус. Извадете 18 от -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Намаляване на дробта \frac{-24}{18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$9x^{2}+6x=8$$

Разделете двете страни на 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

Делението на 9 отменя умножението по 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Разделете \frac{2}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{3}. След това съберете квадрата на \frac{1}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Съберете \frac{8}{9} и \frac{1}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Извадете \frac{1}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$