Решете (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Решаване за r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Съберете 9 и 225, за да се получи 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Групирайте 6r и 30r, за да получите 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Групирайте r^{2} и r^{2}, за да получите 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 18 и получавате 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Извадете 324 и от двете страни.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Извадете 324 от 234, за да получите -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 36 вместо b и -90 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Съберете 1296 с 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, когато ± е плюс. Съберете -36 с 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Разделете -36+12\sqrt{14} на 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Сега решете уравнението r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, когато ± е минус. Извадете 12\sqrt{14} от -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Разделете -36-12\sqrt{14} на 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Уравнението сега е решено.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Съберете 9 и 225, за да се получи 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Групирайте 6r и 30r, за да получите 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Групирайте r^{2} и r^{2}, за да получите 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 18 и получавате 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Извадете 234 и от двете страни.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Извадете 234 от 324, за да получите 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Разделете 36 на 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Разделете 90 на 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Разделете 18 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 9. След това съберете квадрата на 9 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Повдигане на квадрат на 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Съберете 45 с 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Разложете на множител r^{2}+18r+81. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Опростявайте.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Извадете 9 и от двете страни на уравнението.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$