Решете (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Решаване за y

$$y=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Групирайте 4y^{2} и 2y^{2}, за да получите 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Извадете 3 от 9, за да получите 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Разделете двете страни на 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$y^{2}+2y+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като y^{2}+ay+by+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=1 b=1$$

Напишете y^{2}+2y+1 като \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Разложете на множители y в y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Разложете на множители общия член y+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

За да намерите решение за уравнението, решете y+1=0.

$$y=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Групирайте 4y^{2} и 2y^{2}, за да получите 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Извадете 3 от 9, за да получите 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, 12 вместо b и 6 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Съберете 144 с -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Разделете -12 на 12.

$$y=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Групирайте 4y^{2} и 2y^{2}, за да получите 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Извадете 9 от 3, за да получите -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Разделете 12 на 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Разделете -6 на 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Съберете -1 с 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Разложете на множител y^{2}+2y+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$y+1=0 y+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$y=-1 y=-1$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$y=-1$$