Решете (3+7x-5/x^2-x-2-3x/x+1):4/x-2+5/x+3=frac{9x^2+43x+8}{4(x^2+4x+3)}

$$( 3 + \frac { 7 x - 5 } { x ^ { 2 } - x - 2 } - \frac { 3 x } { x + 1 } ) : \frac { 4 } { x - 2 } + \frac { 5 } { x + 3 } = \frac { 9 x ^ { 2 } + 43 x + 8 } { 4 ( x ^ { 2 } + 4 x + 3 ) }$$

Решаване за x

$$x=7$$

Стъпки на решението

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,-1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4\left(x+1\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x+3,4\left(x^{2}+4x+3\right).

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+3 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{2}+4x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}+4x+3 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Разложете на множители x^{2}-x-2.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 3 по \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Тъй като \frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Извършете умноженията в 3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+3x-6x-6+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Обединете подобните членове в 3x^{2}+3x-6x-6+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Най-малкото общо кратно на \left(x-2\right)\left(x+1\right) и x+1 е \left(x-2\right)\left(x+1\right). Умножете \frac{3x}{x+1} по \frac{x-2}{x-2}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Тъй като \frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Извършете умноженията в 3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right).

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Обединете подобните членове в 3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Изразете \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} като една дроб.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x+4 по 5.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+20x+20=9x^{2}+43x+8$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 20x+20 по \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Тъй като \frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Извършете умноженията в \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Обединете подобните членове в 10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}=9x^{2}+43x+8$$

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-9x^{2}=43x+8$$

Разложете на множители x^{2}-x-2.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-9x^{2}=43x+8$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете -9x^{2} по \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Тъй като \frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Извършете умноженията в 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Обединете подобните членове в 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Извадете 43x и от двете страни.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-43x=8$$

Разложете на множители x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете -43x по \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Тъй като \frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Извършете умноженията в x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Обединете подобните членове в x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{x^{2}-x-2}-8=0$$

Разложете на множители x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 8 по \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Тъй като \frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} и \frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Извършете умноженията в x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Обединете подобните членове в x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 42, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42 на x+1, за да получите x^{3}-6x^{2}-13x+42. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-6x^{2}-13x+42=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 42, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-6x^{2}-13x+42 на x-2, за да получите x^{2}-4x-21. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -4 за b и -21 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-4x-21=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-3 x=7$$

Премахване на стойностите, на които не може да е равна променливата.

$$x=7$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=2 x=-3 x=7$$

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,2,-3.

$$x=7$$