Решете (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=8$$

$$x=15$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 17 и получавате 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Извадете 289 и от двете страни.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Извадете 289 от 529, за да получите 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}-23x+120=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+120. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 120 на продукта.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е двойката, която дава сума -23.

$$a=-15 b=-8$$

Напишете x^{2}-23x+120 като \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Фактор, x в първата и -8 във втората група.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Разложете на множители общия член x-15, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-15=0 и x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 17 и получавате 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Извадете 289 и от двете страни.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Извадете 289 от 529, за да получите 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -46 вместо b и 240 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Съберете 2116 с -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Противоположното на -46 е 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{46±14}{4}, когато ± е плюс. Съберете 46 с 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Разделете 60 на 4.

$$x=15$$

Сега решете уравнението x=\frac{46±14}{4}, когато ± е минус. Извадете 14 от 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Разделете 32 на 4.

$$x=8$$

Уравнението сега е решено.

$$x=15 x=8$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 17 и получавате 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Извадете 529 и от двете страни.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Извадете 529 от 289, за да получите -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Разделете -46 на 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Разделете -240 на 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Разделете -23 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{23}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{23}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{23}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Съберете -120 с \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Съберете \frac{23}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=15 x=8$$