Решете (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Разлагане на множители

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Стъпки на решението

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като -10x^{2}+ax+bx+22. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -220 на продукта.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Решението е двойката, която дава сума 51.

$$a=55 b=-4$$

Напишете -10x^{2}+51x+22 като \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Фактор, -5x в първата и -2 във втората група.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-11, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Повдигане на квадрат на 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете -4 по -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 40 по 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Съберете 2601 с 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Получете корен квадратен от 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 2 по -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-51±59}{-20}, когато ± е плюс. Съберете -51 с 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{-20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-51±59}{-20}, когато ± е минус. Извадете 59 от -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Намаляване на дробта \frac{-110}{-20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{2}{5} и x_{2} с \frac{11}{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Съберете \frac{2}{5} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Извадете \frac{11}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Умножете \frac{-5x-2}{-5} по \frac{-2x+11}{-2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Умножете -5 по -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Съкратете най-големия общ множител 10 в -10 и 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Изчисляване

$$22+51x-10x^{2}$$