Решете (20t)^2+(90-30t)^2=50^2

$$( 20 t ) ^ { 2 } + ( 90 - 30 t ) ^ { 2 } = 50 ^ { 2 }$$

Решаване за t

$$t=2$$

$$t = \frac{28}{13} = 2\frac{2}{13} \approx 2,153846154$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разложете \left(20t\right)^{2}.

$$20^{2}t^{2}+\left(90-30t\right)^{2}=50^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 20 и получавате 400.

$$400t^{2}+\left(90-30t\right)^{2}=50^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(90-30t\right)^{2}.

$$400t^{2}[phone]t+900t^{2}=50^{2}$$

Групирайте 400t^{2} и 900t^{2}, за да получите 1300t^{2}.

$$1300t^{2}[phone]t=50^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 50 и получавате 2500.

$$1300t^{2}[phone]t=2500$$

Извадете 2500 и от двете страни.

$$1300t^{2}[phone]t-2500=0$$

Извадете 2500 от 8100, за да получите 5600.

$$1300t^{2}[phone]t=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$1300t^{2}-5400t+5600=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1300 вместо a, -5400 вместо b и 5600 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±\sqrt{\left(-5400\right)^{2}-4\times 1300\times 5600}}{2\times 1300}$$

Повдигане на квадрат на -5400.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±\sqrt{29160000-4\times 1300\times 5600}}{2\times 1300}$$

Умножете -4 по 1300.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±\sqrt{29160000-5200\times 5600}}{2\times 1300}$$

Умножете -5200 по 5600.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±\sqrt{29160000-29120000}}{2\times 1300}$$

Съберете 29160000 с -29120000.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±\sqrt{40000}}{2\times 1300}$$

Получете корен квадратен от 40000.

$$t=\frac{-\left(-5400\right)±200}{2\times 1300}$$

Противоположното на -5400 е 5400.

$$t=\frac{5400±200}{2\times 1300}$$

Умножете 2 по 1300.

$$t=\frac{5400±200}{2600}$$

Сега решете уравнението t=\frac{5400±200}{2600}, когато ± е плюс. Съберете 5400 с 200.

$$t=\frac{5600}{2600}$$

Намаляване на дробта \frac{5600}{2600} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 200.

$$t=\frac{28}{13}$$

Сега решете уравнението t=\frac{5400±200}{2600}, когато ± е минус. Извадете 200 от 5400.

$$t=\frac{5200}{2600}$$

Разделете 5200 на 2600.

$$t=2$$

Уравнението сега е решено.

$$t=\frac{28}{13} t=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разложете \left(20t\right)^{2}.

$$20^{2}t^{2}+\left(90-30t\right)^{2}=50^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 20 и получавате 400.

$$400t^{2}+\left(90-30t\right)^{2}=50^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(90-30t\right)^{2}.

$$400t^{2}[phone]t+900t^{2}=50^{2}$$

Групирайте 400t^{2} и 900t^{2}, за да получите 1300t^{2}.

$$1300t^{2}[phone]t=50^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 50 и получавате 2500.

$$1300t^{2}[phone]t=2500$$

Извадете 8100 и от двете страни.

$$1300t^{2}-5400t=2500-8100$$

Извадете 8100 от 2500, за да получите -5600.

$$1300t^{2}-5400t=-5600$$

Разделете двете страни на 1300.

$$\frac{1300t^{2}-5400t}{1300}=-\frac{5600}{1300}$$

Делението на 1300 отменя умножението по 1300.

$$t^{2}+\left(-\frac{5400}{1300}\right)t=-\frac{5600}{1300}$$

Намаляване на дробта \frac{-5400}{1300} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 100.

$$t^{2}-\frac{54}{13}t=-\frac{5600}{1300}$$

Намаляване на дробта \frac{-5600}{1300} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 100.

$$t^{2}-\frac{54}{13}t=-\frac{56}{13}$$

Разделете -\frac{54}{13} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{27}{13}. След това съберете квадрата на -\frac{27}{13} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-\frac{54}{13}t+\left(-\frac{27}{13}\right)^{2}=-\frac{56}{13}+\left(-\frac{27}{13}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{27}{13}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-\frac{54}{13}t+\frac{729}{169}=-\frac{56}{13}+\frac{729}{169}$$

Съберете -\frac{56}{13} и \frac{729}{169}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t^{2}-\frac{54}{13}t+\frac{729}{169}=\frac{1}{169}$$

Разложете на множител t^{2}-\frac{54}{13}t+\frac{729}{169}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{27}{13}\right)^{2}=\frac{1}{169}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{27}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{169}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{27}{13}=\frac{1}{13} t-\frac{27}{13}=-\frac{1}{13}$$

Съберете \frac{27}{13} към двете страни на уравнението.

$$t=\frac{28}{13} t=2$$