Решете (20-3x)(12-2x)=112

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - 2 x ) = 112$$

Решаване за x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 20-3x по 12-2x и да групирате подобните членове.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Извадете 112 и от двете страни.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Извадете 112 от 240, за да получите 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, -76 вместо b и 128 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на -76.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Съберете 5776 с -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Противоположното на -76 е 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{76±52}{12}, когато ± е плюс. Съберете 76 с 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{128}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{76±52}{12}, когато ± е минус. Извадете 52 от 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Разделете 24 на 12.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 20-3x по 12-2x и да групирате подобните членове.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Извадете 240 и от двете страни.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Извадете 240 от 112, за да получите -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-76}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-128}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Разделете -\frac{38}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{19}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{19}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{19}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Съберете -\frac{64}{3} и \frac{361}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Съберете \frac{19}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$